DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

División de un segmento en una razón dada

A partir de las coordenadas y una razón propuesta se puede dividir un segmento de línea recta en varios segmentos dentro o fuera de la línea, incluso razón negativa:

El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

Se determina en un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, estén en la relación r:

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Consideramos como el proceso de “Dividir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra el su dicho (Segmento) dado entre dos puntos (XY), de tal manera que las dos partes PX y PY constituyen a la razón dada.

Todo ello, en el caso de una sola posición, pues la cantidad de partes que constituyen la razón se encuentra íntimamente ligada con la cantidad de puntos dentro del segmento.

VIDEO 1 DIVISION DE UN SEGMENTO
VIDEO 2 DIVISON DE UN SEGMENTO DE RECTA DADA UNA RAZON

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Distancia entre dos puntos

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano Cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x₂ – x₁) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P₁P₂ y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P₁(7, 5) y P₂(4, 1)

Demostración
Sean P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂) dos puntos en el plano.
 
 La distancia entre los puntos P₁ y P₂ denotada por d =  esta dada por:

(1)

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂) así como también el segmento de recta 
 

Figura 1

Al trazar por el punto P₁ una paralela al eje x (abscisas) y por P₂ una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P₁RP₂ y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero:  ; 

 y

 

Luego, 

 

 
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P₁ y  P₂ no afecta el valor de la distancia.

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PROYECTO INTEGRAL

Tema: localización de un punto o puntos., división de un segmento dada una razón, punto medio, distancia entre dos puntos, pendiente de una recta y Angulo de inclinación

Formar equipos de 5 estudiantes.

Este trabajo ya los técnicos en administración ya tienen su situación didáctica: Los técnicos forestal realizaran un proyecto referente a un bosque, diseñaran un bosque donde tengan una cabaña para realizar sus prácticas, donde localizaran una serie de árboles forestales, enfermos y sanos, separándolos en espacios de manera que formen figuras geométricas, como son círculos, cuadrados, hexágonos elipses etc. Para culminar el proyecto obtendrá cuanto gasto (simulado) se llevaría si el proyecto estuviese ejecutándose. Deberán realizar hacer una maqueta de aproximadamente 30 por 30 cm, no muy grande ni muy pequeña, deberán recordar los conceptos de escalas para que este perfectamente proporcionado su maqueta entre autos, casas, seres humanos, árboles y follaje, caminos, etc. NOTA: No gasten innecesariamente, utilicen material de la región y algo que ya no ocupen en sus casas.

Los técnicos en informática, deberán utilizar el tema tratado en ubicar cada una de las partes internas  y ubicarlas en un plan cartesiano, bien detallada, donde su proyecto es diseñar o construir una maqueta de una PC o laptop de manera que todas sus partes internas y externas sean visibles, harán un balance de cuanto será el costo en caso de que la diseñaran y ejecutarán el proyecto, NOTA: No es necesario realizar gastos innecesarios, pónganse de acuerdo para utilizar material de desecho que exista en su casa

Jóvenes la creatividad es o más importante.

La fecha de entrega será cuando se traten todos los temas y se tendrá una semana para su entrega y exposición en la plaza cívica

Coordenadas polares y cartesianas

Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas:

Coordenadas cartesianas

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

Coordenadas polares

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

Convertir

Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:

De cartesianas a polares

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r² = 12² + 5²

r = √ (12² + 5²)

r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12

θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:

r = √ (x² + y²)

θ = atan( y / x )

De polares a cartesianas

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo: ¿Qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Usamos la función coseno para x:	cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:	x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y:	sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:	y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:

x = r × cos( θ )

y = r × sin( θ )

¡Y ya está!

SISTEMA DE COORDENADAS

1, RECTANGULARES

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decir dónde estás exactamente en un mapa o gráfico

(Juega con las coordenadas cartesianas interactivas para verlo por ti mismo)

Coordenadas cartesianas

Con las coordenadas cartesianas señalas un punto en un gráfico dando la distancia de lado y hacia arriba:

El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 arriba.

Ejes X e Y

La dirección izquierda-derecha (horizontal) se suele llamar X ... ... y arriba-abajo (vertical) se suele llamar Y. Las líneas de referencia (desde donde se miden distancias) se llaman ejes. Hay un eje X y un eje Y.
	El eje X pasa por cero horizontalmente El eje Y pasa por cero verticalmente

Direcciones

	Cuando x (la primera coordenada) aumenta, el punto se mueve a la derecha. (Si disminuye, el punto va a la izquierda.)
	Cuando y (la segunda coordenada) aumenta, el punto se mueve arriba. (Si disminuye, el punto va abajo.)

Escribir coordenadas

Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: la dirección horizontal primero, después la vertical. Esto se llama un "par ordenado".
Y normalmente los números se separan con una coma, y se rodean con paréntesis así: (3,2)

Ejemplo: (4,9) significa 4 unidades a la derecha y 9 arriba
Ejemplo: (0,5) significa 0 unidades a la derecha y 5 arriba. En otras palabras, sólo 5 unidades arriba.

Se llaman cartesianas porque las ideó el matemático y filósofo René Descartes a quien también se llamaba Cartesio. Es famoso por la frase "Pienso, luego existo".

Cuadrantes

¿Qué pasa cuando x o y es negativo? ¡Pues que empezamos en cero y vamos en la dirección contraria!
Esto significa que es posible tener combinaciones como x positivo e y negativo, o los dos negativos. De hecho hay cuatro combinaciones, y en un gráfico se llaman cuadrantes:

X (horizontal)	Y (vertical)	Ejemplo	Cuadrante
Positivo	Positivo	(3,2)	I
Negativo	Positivo	(-4,3)	II
Negativo	Negativo	(-2,-1)	III
Positivo	Negativo	(2,-3)	IV

La palabra cuadrante viene de cuad que significa cuatro. Por ejemplo, cuatro bebés que nacen a la vez se llaman cuatrillizos, y un animal de cuatro patas se llama cuadrúpedo)

Aquí tienes los cuatro cuadrantes en un gráfico:

Ejemplo: el punto "A" (3,2) está 3 unidades a la derecha y 2 arriba. Como x e y son positivos, el punto está en el "cuadrante I"
Ejemplo: el punto "C" (-2,-1) está 2 unidades horizontalmente en dirección negativa,
y 1 abajo (también dirección negativa). Como x e y son los dos negativos, el punto está en el "cuadrante III"

El origen

El punto (0,0) tiene el nombre especial de "el origen", y a veces se le llama con la letra "O".

Dimensiones: 1, 2, 3 y más...

Piensa en esto:

1	En la línea de números sólo se puede ir a izquierda o derecha, así que cualquier posición se indica con un número
2	Las coordenadas cartesianas indican direcciones izquierda-derecha y arriba-abajo, así cualquier posición se indica con dos números
3	¿Cómo señalamos un punto en el mundo real (como la punta de tu nariz)? Necesitamos indicar izquierda-derecha, arriba-abajo y delante-detrás, eso son tres números, ¡o 3 dimensiones!

Y se pueden usar coordenadas cartesianas para localizar puntos en 3 dimensiones como en este ejemplo:

Aquí el punto (-4,-4,5) se indica en coordenadas cartesianas tridimensionales.

De hecho, esta idea se puede seguir en cuatro dimensiones y más... ¡Pero esto no te lo puedo enseñar con un dibujo!

LAS COORDENADAS

Las coordenadas se pueden usar para decir exactamente dónde estás en un mapa o gráfico:

El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 unidades arriba.

Ejemplo: tres puntos y sus coordenadas: El punto (5,3) está 5 unidades a la derecha y 3 unidades arriba (puedes contar para verlo tú mismo)

Una cuadrícula simple y una con cuatro cuadrantes

	Un simple par de ejes (no, no los de la bicicleta - porque hay un eje X y un eje Y tenemos dos ejes) x puede ir de 0 en adelante, siempre positivo y puede ir de 0 hacia arriba, siempre positivo Llamamos a esto el primer cuadrante
	Un par de ejes en una cuadrícula de 4 cuadrantes. En el primer cuadrante x es positivo y es positivo En el segundo cuadrante x es negativo y es positivo En el tercero cuadrante x es negativo y es negativo En el cuarto cuadrante x es positivo y es negativo

Cómo dibujar las coordenadas

	Estas son las coordenadas (4,4) La coordenada x siempre es la primera. La coordenada y es la segunda. Ve 4 adelante y sube 4, entonces 'planta el punto'. Es fácil acordarse, en el alfabeto x está antes que y, así que el primer número es la coordenada x
	Como antes excepto: Cuando haya un número negativo: ve atrás para la x o abajo para la y Por ejemplo (-4,4) quiere decir: ve a la izquierda 4 por el eje x y sube 4. Y (-4,-4) quiere decir: vea la izquierda 4 por el eje x y baja 4.

COORDENADAS CARTESIANAS INTERACTIVAS

PROGRAMA DE ESTUDIOS DE GEOMETRIA ANALITICA Y COMPETENCIAS A DESARROLLAR

PROGRAMA DE GEOMETRIA ANALITICA